A.- Le 4 août 1977, K., ressortissant néerlandais, a ouvert un compte auprès de la banque X., à Antibes (France), au nom de L., un ami marocain domicilié en Espagne. En 1981, il a fait transférer le solde du compte dans un établissement du Liechtenstein. Cette opération effectuée, il en a contesté la régularité au motif que la somme virée ne correspondait pas à celle qui devait figurer sur ledit compte.

B.- En mars 1986, K. a fait procéder, à Genève, au séquestre de 1'152'478 francs en capital appartenant à la banque X. Celle-ci ayant fait opposition à la poursuite subséquente, il lui a intenté une action en validation de séquestre.

Par jugement du 3 septembre 1987, le Tribunal de première instance du canton de Genève a débouté K. des fins de sa demande après lui avoir dénié la qualité pour agir.

Statuant le 16 décembre 1988, sur appel du demandeur, la Cour de justice du canton de Genève a confirmé ce jugement.

C.- K. interjette un recours en réforme au Tribunal fédéral en concluant à ce que la banque X. soit condamnée à lui payer la somme de 1'062'000 francs, plus intérêts.

La défenderesse propose le rejet du recours, dont elle conteste, au demeurant, la recevabilité.

1. Du moment que le rapport juridique en cause revêt assurément un caractère d'extranéité et que le présent recours a été interjeté après le 1er janvier 1989, date de l'entrée en vigueur de la loi fédérale sur le droit international privé (LDIP; RS 291) et des modifications apportées dans le même temps à la loi fédérale d'organisation judiciaire (OJ), la question se pose de savoir si la procédure de recours devant le Tribunal fédéral demeure régie par l'ancien droit ou si elle est déjà réglée par les dispositions modifiées de la loi fédérale d'organisation judiciaire.

En matière d'arbitrage international, le Tribunal fédéral a jugé récemment que le nouveau droit n'est applicable qu'aux recours interjetés contre des sentences rendues postérieurement au 1er janvier 1989 (ATF 115 II 97, 102).

A défaut de disposition transitoire claire, il convient d'adopter la même solution pour résoudre le problème soulevé plus haut. Aussi faut-il poser, par voie de jurisprudence, que les modifications de la loi fédérale d'organisation judiciaire, introduites par la loi fédérale sur le droit international privé, ne s'appliquent qu'aux recours interjetés contre des décisions rendues postérieurement au 1er janvier 1989, et non pas à ceux qui ont été déposés après cette date contre des décisions antérieures (POUDRET, Les modifications de la loi fédérale d'organisation judiciaire introduites par la LDIP, in JdT 1988, p. 626). Cette solution correspond d'ailleurs à celle qui a été retenue dans la loi - actuellement en suspens - du 23 juin 1989 modifiant la loi fédérale d'organisation judiciaire (art. 3 al. 1, 2e phrase, des dispositions finales, FF 1989 II 816).

Il suit de là que la procédure de recours devant le Tribunal fédéral reste soumise, en l'espèce, aux règles antérieures à la modification légale.

2. a) A la différence du Tribunal de première instance, la Cour de justice a jugé la présente cause en faisant application du droit français, sur lequel elle s'est estimée suffisamment renseignée, le principe de l'application de ce droit n'étant pas contesté par le demandeur. Elle a aussi appliqué le droit suisse, mais à titre de motivation subsidiaire, alternative ou cumulative, conduisant à un résultat identique à celui du droit français. L'action du demandeur a donc été rejetée pour deux séries de motifs, indépendantes l'une de l'autre, soit, d'une part, les motifs de droit français et, d'autre part, les motifs de droit suisse.

Selon la jurisprudence, lorsqu'une décision repose sur deux motivations indépendantes, la recevabilité du recours en réforme suppose que le recourant indique en quoi le droit fédéral est violé par chacune des motivations (ATF 111 II 397). Le cas échéant, le recourant devra attaquer l'une des deux motivations par la voie du recours en réforme, et l'autre par celle du recours de droit public (ATF 111 II 399 /400).

b) Dans son recours en réforme, le demandeur n'attaque que l'une des deux séries de motifs sur lesquelles l'arrêt déféré se fonde, à savoir celle tirée du droit suisse. Il laisse intacte la motivation, indépendante et suffisante, basée sur le droit français. S'il est vrai qu'il ne pouvait critiquer pareille motivation dans ce cadre-là (art. 55 al. 1 lettre c anc. OJ; cf. ATF 113 II 103 /104 consid. 2b, ATF 108 II 169 /170), il lui eût été cependant loisible de le faire au moyen d'un recours de droit public formé parallèlement contre ledit arrêt. Cette motivation, fondée sur le droit français, suffit dès lors à justifier le maintien de l'arrêt entrepris, si bien que la critique de la motivation fondée sur le droit suisse n'apparaît que comme un pur débat sur des motifs qui, en eux-mêmes, ne lèsent pas le demandeur. Le recours en réforme interjeté par ce dernier est en conséquence irrecevable.

3. A côté des moyens, irrecevables, fondés sur la violation des art. 32 et 401 CO, le demandeur invoque également la violation de l'art. 8 CC, en faisant valoir que son droit à la preuve n'a pas été respecté sur des points essentiels.

L'art. 8 CC, comme norme de droit civil fédéral, ne s'applique qu'aux rapports juridiques qui relèvent de ce droit (ATF 107 II 486 consid. 1, 97 III 14/15 et les références). Ainsi, pour l'application, suffisante - on l'a vu -, du droit français, l'art. 8 CC ne pouvait entrer en ligne de compte. C'est d'autres normes, procédurales ou tirées du droit français, que le demandeur pouvait déduire le droit à la preuve dont il se prévaut. Mais la voie du recours en réforme ne lui eût pas permis de faire sanctionner par le Tribunal fédéral la violation de telles normes.

Le présent recours se révèle dès lors totalement irrecevable.