A.a Im Februar 2003 wurde für X. eine Beistandschaft auf eigenes Begehren nach aArt. 394 ZGB errichtet. Im Januar 2013 demissionierte Beistand C. Er beantragte der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Thun, die Beistandschaft an die Wohn- und Lebensgemeinschaft B. in D. zu übertragen, wo X. seit längerer Zeit lebt. X. und A., der Leiter der Wohn- und Lebensgemeinschaft B., beantragten, die Beistandschaft aufzuheben.
A.b Mit Entscheid vom 18. April 2013 hob die KESB Thun die Beistandschaft nach aArt. 394 ZGB auf und ordnete neu eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung nach Art. 394 i.V.m. Art. 395 ZGB an. Soweit vor Bundesgericht noch relevant, übertrug sie dem Beistand die Aufgabe, X. "beim Erledigen der administrativen Angelegenheiten soweit nötig zu vertreten, insbesondere auch im Verkehr mit Behörden, Ämtern, Banken, Post, (Sozial-)Versicherungen, sonstigen Institutionen und Privatpersonen". Weiter wurde der Beistand damit betraut, X. "beim Erledigen der finanziellen Angelegenheiten zu vertreten, insbesondere sein Einkommen und Vermögen sorgfältig zu verwalten". C. wurde aus dem Amt entlassen. Als neuen Beistand setzte die KESB den Berufsbeistand E. ein.
B. Hierauf erhoben X. und A. Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern. Dieses hiess das Rechtsmittel teilweise gut, wies mit Bezug auf die streitigen Anordnungen (lit. A.b) aber ab (Entscheid vom 22. August 2013).
C.a Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 20. September 2013 gelangt X. (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, das Urteil des Obergerichts und den Kammerentscheid der KESB Thun aufzuheben und festzustellen, dass die Voraussetzungen für eine künftige Beistandschaft nicht gegeben sind. Eventualiter sei C. als Vertretungsbeistand nach Art. 394 ZGB zu bestellen, subeventualiter die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
C.b Mit Verfügung vom 4. Oktober 2013 hat das präsidierende Mitglied der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt.
C.c Die KESB Thun und das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. A. erklärte in seiner Stellungnahme, seiner Meinung nach könne der Beschwerdeführer selbst über seine privaten Angelegenheiten entscheiden und selbst bestimmen, in welchen Belangen und von wem er bei Bedarf Hilfe in Anspruch nehmen möchte. Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer sowie der Vorinstanz und der KESB Thun zur Kenntnis gebracht.