A.

A.a Der PolyReg Allg. Selbstregulierungs-Verein (fortan: PolyReg) ist eine eidgenössisch anerkannte Selbstregulierungsorganisation nach Art. 24 des Bundesgesetzes vom 10. Oktober 1997 über die Bekämpfung der Geldwäscherei und der Terrorismusfinanzierung (Geldwäschereigesetz, GwG; SR 955.0). Der Verein nimmt gegenüber seinen Mitgliedern die gesetzlichen Aufsichts- und Überwachungspflichten wahr und untersteht der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht FINMA.

A.b Die A. AG (fortan: A.) war seit 2006 bis zu ihrem Austritt am 27. April 2017 als Finanzintermediärin bei PolyReg angeschlossen.

B.

B.a Mit Beschluss vom 21./29. März 2017 sanktionierte der Vorstand von PolyReg A. mit einer Konventionalstrafe von Fr. 4,3 Mio., weil sie Pflichten unter dem Geldwäschereigesetz bzw. den Regularien von PolyReg verletzt hatte.

B.b A. reichte bei B., dem Verantwortlichen von PolyReg für das Schiedswesen, eine Beschwerde an das statutarisch vorgesehene Schiedsgericht ein. Sie bezweifelte die Unabhängigkeit und Unparteilichkeit des Schiedsgerichts. Zudem focht A. den Sanktionsentscheid beim Bundesverwaltungsgericht an. Dieses trat mangels Zuständigkeit nicht auf die Beschwerde ein (Urteil B-2534/2017 vom 5. September 2017); das Bundesgericht bestätigte dieses Urteil (Urteil 2C_887/2017 vom 23. März 2021).

B.c Mit Verfügung vom 11. April 2017 wurde das Schiedsverfahren eröffnet und A. die Liste der zwölf akkreditierten Schiedsrichterinnen und Schiedsrichter unterbreitet. Darauf verlangte A., die Interessenbindungen der Schiedsrichterinnen und Schiedsrichter offenzulegen, und protestierte gegen die Konstituierung des Schiedsgerichts. Sie erklärte alle Schiedsrichterinnen und Schiedsrichter für befangen, weil PolyReg mit der erwähnten, von ihm erstellten Liste die Bildung des Schiedsgerichts übermässig beeinflussen könne. Das Schiedsgericht und die Einzelschiedsrichterin oder der Einzelschiedsrichter, die bzw. der nach § 36 Abs. 5 Lemma 7 der Statuten von PolyReg (in der damals gültigen Fassung von 2010; fortan: Statuten) die Ausstandsgründe zu beurteilen habe, würden als Ganzes abgelehnt.

B.d Am 14. Juni 2017 liess B. gemäss § 36 Abs. 2 der Statuten die drei Mitglieder des Schiedsgerichts und gemäss § 36 Abs. 5 Lemma 7 der Statuen Prof. Dr. F. als Einzelschiedsrichterin zur Beurteilung der Ablehnungsbegehren auslosen. A. protestierte mit zwei Eingaben vom 16. Juni 2017. Sie lehnte das Schiedsgericht in globo ab und forderte den Ausstand aller ausgelosten Personen; ausserdem bestritt sie die Gültigkeit der Auslosung. Nach Durchführung des Schriftenwechsels erklärte sich die Einzelschiedsrichterin mit Verfügung vom 25. Juli 2018 zuständig, das Ausstandsbegehren gegen sie selbst und dasjenige gegen das Schiedsgericht und B. zu beurteilen.

B.e Am 27. Oktober 2021 fällte das PolyReg-Einzel-Schiedsgericht in der Besetzung mit Prof. Dr. F. seinen Entscheid. Das Ablehnungsbegehren gegen die Einzelschiedsrichterin und dasjenige gegen die Mitglieder des in der Sache berufenen Schiedsgerichts (Bst. B.a und B.b) wurden abgewiesen, das Ablehnungsbegehren gegen B. als gegenstandslos geworden abgeschrieben, soweit darauf eingetreten wurde. Laut Ziffer 7 unterliegt dieser Entscheid "gestützt auf Art. 389 i.V.m. Art. 392 Abs. 1 ZPO" der Beschwerde in Schiedssachen an das Bundesgericht.

B.f Mit Eingabe vom 9. November 2021 ersuchte A. das PolyReg-Einzel-Schiedsgericht, einen neuen Entscheid auszufertigen, der klarstellt, dass es sich um einen Entscheid über die Ablehnung im Sinne von Art. 369 Abs. 5 ZPO handelt. Das PolyReg-Einzel-Schiedsgericht trat darauf nicht ein.

C. Mit Beschwerde vom 26. November 2021 wendet sich die A. (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des PolyReg-Einzel-Schiedsgerichts aufzuheben und den Ausstand des für das Beschwerdeverfahren gegen den Sanktionsentscheid vom 29. März 2017 bestellten PolyReg-Schiedsgerichts, der für Ablehnungen bestellten Einzelschiedsrichterin sowie des Verantwortlichen für das PolyReg-Schiedsgerichtswesen anzuordnen.

(Zusammenfassung)

2.1 In der nationalen Schiedsgerichtsbarkeit ist die Beschwerde in Zivilsachen gegen Entscheide von Schiedsgerichten unter den Voraussetzungen von Art. 389 bis 395 ZPO zulässig (Art. 77 Abs. 1 lit. b BGG). Die Artikel 48 Abs. 3, 90-98, 103 Abs. 2, 105 Abs. 2, 106 Abs. 1 sowie 107 Abs. 2, soweit dieser dem Bundesgericht erlaubt, in der Sache selbst zu entscheiden, sind nicht anwendbar (Art. 77 Abs. 2 BGG).

2.1.1 Zu den mit Beschwerde in Zivilsachen anfechtbaren Schiedsentscheiden gehören gemäss Art. 392 lit. a ZPO die Endentscheide, mit denen ein Schiedsgericht die Klage ganz oder teilweise gutheisst, abweist oder darauf nicht eintritt. Anfechtbar sind weiter Teilentscheide, mit denen das Schiedsverfahren für einen quantitativen Teil des Streitgegenstands abgeschlossen wird, indem einzelne streitige Ansprüche vorweg umfassend beurteilt werden und das Verfahren über die anderen vorerst ausgesetzt wird. Nach Massgabe von Art. 392 lit. b ZPO sind sodann Zwischenschiedssprüche anfechtbar, mit denen eine Vorfrage materieller oder prozessualer Natur vorab gesondert geklärt wird. Diese Vor- oder Zwischenentscheide beziehen sich somit auf einen qualitativen Teil des dem Schiedsgericht unterbreiteten Streitgegenstands (BGE 142 III 284 E. 1.1.1; vgl. zu Art. 77 BGG i.V.m. Art. 190-192 IPRG [SR 291] Urteile 4A_446/2014 vom 4. November 2014 E. 3.1; 4A_596/2012 vom 15. April 2013 E. 3.2 mit Hinweisen; MARUGG/NEUKOM CHANEY, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. III, 2014, N. 7 ff. zu Art. 392 ZPO). Zwischenschiedssprüche können gemäss Art. 392 lit. b ZPO lediglich wegen vorschriftswidriger Ernennung oder Zusammensetzung des Schiedsgerichts (Art. 393 lit. a ZPO) oder wegen Verletzung von Zuständigkeitsvorschriften (Art. 393 lit. b ZPO) angefochten werden (Urteile 4A_515/2012 vom 17. April 2013 E. 2.1; 4A_627/ 2011 vom 8. März 2012 E. 2.2).

2.1.2 Nach der gesetzlichen Ordnung der Binnenschiedsgerichtsbarkeit können Ablehnungsgründe gegen das Schiedsgericht nicht direkt mit Beschwerde an das Bundesgericht geltend gemacht werden. Wer sich auf eine vorschriftswidrige Besetzung des Schiedsgerichts berufen will, muss ein Ablehnungsverfahren nach Art. 367 ff. ZPO einleiten. Gemäss Art. 369 Abs. 1 ZPO können die Parteien dieses Verfahren frei vereinbaren; sie können individuelle Vereinbarungen treffen oder sich einer bestimmten Schiedsinstitution bzw. Schiedsordnung unterwerfen (STEFANIE PFISTERER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/ Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 4 zu Art. 369 ZPO; IVO SCHWANDER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, 2. Aufl. 2016, N. 2 zu Art. 369 ZPO; ausführlich URS WEBER-STECHER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 14 ff. zu Art. 369 ZPO). Nach verbreiteter Auffassung können die Parteien auch vereinbaren, dass das Schiedsgericht selbst (unter Ausschluss der abgelehnten Mitglieder) den endgültigen Entscheid über ein Ablehnungsbegehren treffen kann (WEBER-STECHER, a.a.O., N. 16 zu Art. 369 ZPO; SCHWANDER, a.a.O., N. 11 zu Art. 369 ZPO; anders GABRIEL/BUHR, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. III, 2014, N. 19 ff. zu Art. 369 ZPO, die daran erinnern, dass die bezeichnete Stelle im Sinne von Art. 369 Abs. 3 ZPO ihrerseits den Anspruch auf einen unabhängigen Richter erfüllen muss und eine Vereinbarung, die dem Schiedsgericht selbst die Befugnis einräumt, über seine eigene Ablehnung gemäss Art. 368 Abs. 1 ZPO zu entscheiden, diesem Anspruch nicht genügt und daher unwirksam ist).

Im Ablehnungsgesuch sind die Einwände gegen die betroffene(n) Person(en) geltend zu machen. Über die Ablehnung entscheidet nach Massgabe von Art. 369 Abs. 3 ZPO die von den Parteien bezeichnete Stelle oder, wenn keine solche bezeichnet wurde, das nach Art. 356 Abs. 2 ZPO zuständige staatliche Gericht. Der Ablehnungsentscheid (der von den Parteien bezeichneten Stelle oder des staatlichen Gerichts) kann nur zusammen mit dem ersten (oder nächsten) Schiedsspruch angefochten werden (Art. 369 Abs. 5 ZPO; Urteil 4A_593/2020 vom 23. Juni 2021 E. 6.2; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], BBl 2006 7397).

2.2 Im angefochtenen Entscheid schreibt die zur Beurteilung der Ausstands-/Ablehnungsbegehren speziell ausgeloste Einzelschiedsrichterin (vgl. Sachverhalt Bst. B.d), dass ihr Entscheid betreffend Ausstand/Ablehnung gemäss § 36 Abs. 5 Lemma 7 der Statuten ein Teil- oder Endschiedsspruch im Sinne von Art. 392 lit. a ZPO sei, der beim Bundesgericht selbständig angefochten werden könne. Die Rechtsmittelbelehrung verweist ebenfalls auf Art. 392 ZPO, wobei (wohl irrtümlich) dessen Absatz 1 (anstatt litera a) genannt wird (vgl. Sachverhalt Bst. B.e).

Nach Ansicht der Beschwerdeführerin handelt es sich beim Entscheid vom 27. Oktober 2021 nicht um einen Schiedsspruch, sondern um einen Entscheid einer bezeichneten Stelle über die Ablehnung im Sinne von Art. 369 Abs. 3 und 5 ZPO, der kein Schiedsspruch im Sinne von Art. 389 ZPO ist und deshalb nicht selbständig, sondern erst zusammen mit dem ersten Schiedsspruch des abgelehnten PolyReg-Dreierschiedsgerichts (vgl. Sachverhalt Bst. B.d) beim Bundesgericht angefochten werden kann. Vergeblich ersuchte die Beschwerdeführerin die Einzelschiedsrichterin um eine entsprechende Klarstellung und eine neue Ausfertigung des Entscheids (vgl. Sachverhalt Bst. B.f).

2.3 Von vornherein unzutreffend ist die vorinstanzliche Auffassung, der angefochtene Entscheid sei ein (vor Bundesgericht anfechtbarer) Teil- oder Endschiedsspruch im Sinne von Art. 392 lit. a ZPO. Der Entscheid des PolyReg-Einzel-Schiedsgerichts vom 27. Oktober 2021 beschlägt nicht den Streitgegenstand der Schiedssache - die von der Beschwerdegegnerin gegen die Beschwerdeführerin ausgesprochene Sanktion wegen Verletzung von Sorgfaltspflichten nach Geldwäschereigesetz (vgl. Sachverhalt Bst. B.a) - bzw. die diesbezüglich vor dem Dreierschiedsgericht gestellten Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin (oder nur einen Teil dieser Begehren). Er behandelt ausschliesslich die Anträge der Beschwerdeführerin betreffend den Ausstand/die Ablehnung des Dreierschiedsgerichts, des Beschwerdegegners 2 und der Einzelschiedsrichterin.

2.4 Zu prüfen bleibt, ob der angefochtene Entscheid ein Zwischenschiedsspruch im Sinne von Art. 392 lit. b ZPO ist, weil gemäss einer entsprechenden Parteivereinbarung oder der massgeblichen Verfahrensordnung das Schiedsgericht selbst (unter Ausschluss der abgelehnten Mitglieder) über die Ablehnungsbegehren entschieden hat (vgl. oben E. 2.1.2). Die Frage ist zu verneinen. Ausgangspunkt für die Qualifikation des angefochtenen Entscheids sind die (der Beschwerde beiliegenden) Statuten. Deren § 36 Abs. 5 listet die Fälle auf, in denen "ein Einzelschiedsrichter" amtet, "der ebenfalls durch das Los bestimmt wird". Gemäss Lemma 7 Satz 1 entscheidet über Ablehnungsanträge "ein zusätzlich auszulosender Schiedsrichter". Nach Massgabe der von den Parteien getroffenen Vereinbarung (Art. 369 Abs. 1 ZPO) ist für den Entscheid über Ablehnungsanträge somit nicht das zur Beurteilung der (Haupt-)Schiedssache eingesetzte PolyReg-Dreierschiedsgericht (§ 36 Abs. 2 der Statuten) zuständig. Vielmehr haben die Parteien hierfür durch Übernahme von § 36 Abs. 5 Lemma 7 Satz 1 der Statuten eine andere Stelle bezeichnet, nämlich einen zusätzlich auszulosenden Schiedsrichter, der als Einzelschiedsrichter entscheidet. In Übereinstimmung mit diesen Vorgaben stellt die unter der Bezeichnung "PolyReg-Einzel-Schiedsgericht" amtende "Einzelschiedsrichterin" in ihrem heute angefochtenen Entscheid denn auch selbst fest, dass sie gemäss § 36 Abs. 5 Lemma 7 der Statuen "zur Beurteilung der Ausstands-/Ablehnungsbegehren" ausgelost worden sei, dies in Abgrenzung zu den "drei Mitglieder[n] des Schiedsgerichts", die der Beschwerdegegner 1 "gemäss § 36 Abs. 2 der Statuten" ausgelost habe (s. Sachverhalt Bst. B.d).

Nach alledem steht auch im konkreten Fall fest, dass über die fraglichen Ausstands-/Ablehnungsbegehren nicht das in der Hauptsache zuständige Dreierschiedsgericht, sondern das Einzelschiedsgericht als speziell für die Behandlung solcher Begehren bezeichnete Stelle im Sinne von Art. 369 Abs. 3 ZPO entschieden hat. Der Beschwerdeführerin ist mithin darin beizupflichten, dass es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Entscheid über die Ablehnung im Sinne von Art. 369 Abs. 5 ZPO handelt, der nur zusammen mit dem ersten (oder nächsten) Schiedsspruch des (von der Beschwerdeführerin abgelehnten) PolyReg-Dreierschiedsgerichts angefochten werden kann. Die Beschwerde ist also unzulässig.