A.- Am 20. Juni 1995 kündigte der Kantonalverband Thurgauischer Krankenkassen (KTK) die Vereinbarung mit der Klinik B. AG vom 1. April 1993 "über die stationäre und ambulante Behandlung von Krankenkassen-Mitgliedern sowie die Leistungen der Krankenkassen" auf den 31. Dezember 1995. Auf Antrag der Klinik verlängerte der Regierungsrat des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 26. März 1996 den Tarifvertrag um ein Jahr bis zum 31. Dezember 1996. Die hiegegen erhobene Verwaltungsbeschwerde des Kassenverbandes wies der Bundesrat am 23. September 1996 ab.

Unter Hinweis auf einen (weiteren) Entscheid des Bundesrates vom 30. September 1996, womit dieser die vom thurgauischen Regierungsrat am 19. Dezember 1995 beschlossene Erhöhung des Taxpunktwertes für ambulante Behandlungen in den kantonalen Krankenanstalten von Fr. 4.65 bzw. Fr. 4.76 auf Fr. 4.95 ab 1. Januar 1996 bestätigte, stellte die Klinik B. im Februar 1997 verschiedenen Krankenversicherern, unter anderem der Wincare Versicherungen mit Hauptsitz in Winterthur (im folgenden: Wincare), eine entsprechende Nachbelastung in Rechnung. Da sich die Wincare - auf Empfehlung des KTK - weigerte, für 1996 aufgrund eines höheren Taxpunktwertes Nachzahlungen zu leisten, erhob die Klinik B. AG am 29. Mai 1997 Klage beim kantonalen Versicherungsgericht als Schiedsgericht im Sinne von Art. 89 KVG mit den Rechtsbegehren:

"Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin den Betrag von Fr. 10'836.60 nebst 5% Zins seit 24.03.1997 zu bezahlen;

unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beklagten."

Im weitern benannte die Klinik B. Dr. iur. G., Rechtsanwalt, "als von ihr delegierten Vertreter in das Schiedsgericht".

B.- Nachdem die Wincare ihrerseits Frau Dr. iur. H. als ihre Vertreterin für das schiedsgerichtliche Verfahren vorgeschlagen hatte, beantragte sie mit Eingabe vom 20. Juni 1997 die Ablehnung des Dr. G. als "Vertreter der Klägerin im Schiedsgericht". Dieser biete als Präsident der Interessengemeinschaft Thurgauer Privatkliniken, deren Mitglied die Klinik B. AG sei, und gleichzeitiger Präsident des Verwaltungsrates der P. AG, einer Privatklinik mit Sitz im Kanton Thurgau, "nicht die für Schiedsrichter nötige Gewähr für eine unabhängige und unparteiische Beurteilung der Streitsache". In ihrer Stellungnahme vom 4. Juli 1997 wies die Klinik die Vorbehalte gegen Dr. G. als ihren Vertreter im Schiedsgericht als "haltlos und unbegründet" zurück. Nach Eingang der Klageantwort wies das thurgauische Verwaltungsgericht als Versicherungsgericht das Rekusationsbegehren ab (Entscheid vom 20. August 1997).

C.- Die Wincare führt Verwaltungsgerichtsbeschwerde mit den Rechtsbegehren, der "Entscheid des KVG-Schiedsgerichts des Kantons Thurgau vom 20. August 1997 sei aufzuheben und der von der Beschwerdebeklagten 1 ernannte Schiedsrichter, Herr Dr. G., Rechtsanwalt, abzulehnen".

Das kantonale Versicherungsgericht beantragt in seiner Vernehmlassung Abweisung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde, desgleichen die Klinik B. AG. Das Bundesamt für Sozialversicherung hat sich nicht vernehmen lassen.

1. Gemäss Art. 89 KVG entscheidet ein Schiedsgericht Streitigkeiten zwischen Versicherern und Leistungserbringern (Abs. 1). Zuständig ist das Schiedsgericht desjenigen Kantons, dessen Tarif zur Anwendung gelangt, oder desjenigen Kantons, in dem die ständige Einrichtung des Leistungserbringers liegt (Abs. 2). Der Kanton bezeichnet ein Schiedsgericht. Es setzt sich zusammen aus einer neutralen Person, die den Vorsitz innehat, und aus je einer Vertretung der Versicherer und der betroffenen Leistungserbringer in gleicher Zahl. Die Kantone können die Aufgaben des Schiedsgerichts dem kantonalen Versicherungsgericht übertragen; dieses wird durch je einen Vertreter oder eine Vertreterin der Beteiligten ergänzt (Abs. 4). In diesem Sinne hat der Kanton Thurgau Zuständigkeit und Zusammensetzung des kantonalen Schiedsgerichts gemäss Art. 89 KVG geregelt (vgl. § 69a Abs. 1 Ziff. 1 in Verbindung mit § 33 Abs. 1 des thurgauischen Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 23. Februar 1981 [VRG; Thurgauer Rechtsbuch I, Nr. 170.1]).

2. a) Das Eidg. Versicherungsgericht beurteilt letztinstanzlich Verwaltungsgerichtsbeschwerden gegen Verfügungen im Sinne von Art. 5 VwVG auf dem Gebiete der Sozialversicherung (Art. 128 in Verbindung mit Art. 97, 98 lit. b-h und 98a OG). Zu diesen auf bundesrechtlicher Grundlage beruhenden Verfügungen gehören nach Art. 5 Abs. 2 und Art. 45 VwVG unter anderem die in Streitigkeiten nach Art. 89 Abs. 1 KVG erlassenen Zwischenentscheide über die Ablehnung eines Ausstandsbegehrens (vgl. Art. 45 Abs. 2 lit. b VwVG; RKUV 1997 KV Nr. 14 S. 312 Erw. II/2a). Solche Verfügungen sind selbständig anfechtbar, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Art. 45 Abs. 1 VwVG; BGE 120 Ib 97 Erw. 1c, BGE 97 V 248) und gegen den Endentscheid Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Eidg. Versicherungsgericht geführt werden kann (Art. 129 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 101 lit. a OG; BGE 119 V 487 Erw. 2a, BGE 117 V 187 Erw. 1a, BGE 116 V 133 Erw. 1; Gygi, Bundesverwaltungsrechtspflege, 2. Aufl., S. 140 ff.).

b) In dem vor dem kantonalen Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG hängigen Klageverfahren geht es in der Hauptsache um die "Nachforderung für Leistungsvergütungen im Jahre 1996" im Rahmen des Tarifvertrages vom 1. April 1993 aufgrund eines höheren als des ursprünglich verrechneten Taxpunktwertes. Auch wenn das Begehren alle in jenem Jahr von der Beschwerdegegnerin erbrachten und von der Beschwerdeführerin übernommenen Leistungen betrifft, es sich streng genommen nicht um die Anwendung eines Tarifes im Einzelfall handelt, liegt eine Streitigkeit zwischen Versicherern und Leistungserbringern im Sinne von Art. 89 Abs. 1 KVG vor, zu deren Beurteilung die kantonalen Schiedsgerichte zuständig sind (vgl. BGE 116 V 126 Erw. 2a, BGE 112 V 310 Erw. 3b, BGE 111 V 346 Erw. 1b; vgl. auch BGE 119 V 326 Erw. 5 und BGE 123 V 280). Da im weitern Zwischenverfügungen über den Ausstand oder die Ablehnung von Mitgliedern eines kantonalen Schiedsgerichts nach KVG einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 45 Abs. 1 VwVG bewirken können (RKUV 1997 KV Nr. 14 S. 312 Erw. II/2c mit Hinweisen), gegen den Endentscheid der Vorinstanz Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Eidg. Versicherungsgericht geführt werden kann (Art. 91 KVG) und auch die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind, ist Eintreten gegeben.

3. Der vorliegende Rechtsstreit hat nicht die Bewilligung oder Verweigerung von Versicherungsleistungen (vgl. BGE 122 V 136 Erw. 1) zum Gegenstand. Das Eidg. Versicherungsgericht hat daher nur zu prüfen, ob der angefochtene Entscheid auf einer Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich Überschreitung oder Missbrauch des Ermessens, beruht (Art. 132 in Verbindung mit Art. 104 OG). Dabei ist es an die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz gebunden, wenn diese den Sachverhalt nicht offensichtlich unrichtig, unvollständig oder unter Verletzung wesentlicher Verfahrensbestimmungen festgestellt hat (Art. 132 in Verbindung mit Art. 105 Abs. 2 OG; BGE 103 V 149 Erw. 1; RKUV 1984 Nr. K 573 S. 76 Erw. 3). Schliesslich darf das Gericht weder zugunsten noch zuungunsten der Parteien über deren Begehren hinausgehen (Art. 132 in Verbindung mit Art. 114 Abs. 1 OG).

4. Gegen die Mitwirkung von Dr. G. im kantonalen Schiedsgericht gemäss Art. 89 KVG wird in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde im wesentlichen vorgebracht, dieser "sitze" als Vertreter der P. AG in der Interessengemeinschaft Thurgauischer Privatkliniken. Als Mitglied dieses Gremiums sei er beauftragt, die Interessen der kantonalen Privatspitäler und damit auch diejenigen der Beschwerdegegnerin zu wahren. Die Gefahr der Voreingenommenheit sei daher offenkundig. Ferner sei Dr. G. als Präsident des Verwaltungsrates der P. AG sinngemäss in gleicher Weise wie diese Privatklinik vom Verfahrensausgang betroffen, und zwar in einem Masse, welches seine Befangenheit begründe, zumal der Entscheid in der Hauptsache einen Einfluss auf die Frage habe, ob Nachforderungsbegehren (anderer kantonaler Privatkliniken) gestellt werden. Anders verhielte es sich nur, wenn der von der Klägerin und jetzigen Beschwerdegegnerin bezeichnete Vertreter im schiedsgerichtlichen Verfahren Vertreter einer Privatspitalvereinigung eines anderen Kantons wäre.

5. Die Vorbringen des beschwerdeführenden Versicherers sind nicht geeignet, eine Verletzung des aus Art. 58 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK fliessenden und grundsätzlich auch im Verfahren vor den kantonalen Schiedsgerichten gemäss Art. 89 KVG zu beachtenden Anspruchs der Prozessparteien darauf, dass ihre Sache von einem unabhängigen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirkung sachfremder Umstände entschieden wird, darzutun. Namentlich vermag die Tatsache allein, dass Dr. G. Präsident des Verwaltungsrates einer ebenfalls im Kanton Thurgau gelegenen Privatklinik ist, bei objektiver Betrachtung nicht den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen (vgl. BGE 120 V 365 Erw. 3a, BGE 119 Ia 226 Erw. 3, BGE 115 V 260 Erw. 2a mit Hinweisen; RKUV 1997 KV Nr. 14 S. 309).

a) Die neben dem Vorsitzenden tätigen bzw. das Versicherungsgericht ergänzenden Schiedsrichter erscheinen aufgrund ihrer Verbundenheit mit den Versicherern und Leistungserbringern erfahrungsgemäss bald als kaum ganz unabhängig. Dies bedeutet indessen, wie das Eidg. Versicherungsgericht bereits unter dem alten Recht feststellte, nicht schon Parteilichkeit im Sinne einer unzulässigen einseitigen Parteinahme. Es liegt in der Natur der Sache, dass sie gegensätzliche Standpunkte einnehmen können, auch wenn sie unparteiisch handeln. Sodann besteht die der paritätischen Mitwirkung zugedachte Aufgabe nicht in einer einseitigen Interessenwahrnehmung für eine Prozesspartei. Vielmehr hat der Gesetzgeber den in Art. 89 Abs. 1 KVG angeführten interessierten Kreisen die Möglichkeit einräumen wollen, Leute ihres Vertrauens in die Schiedsgerichte zu entsenden, um die notwendige Sachkunde zu vermitteln und die branchenspezifischen Gesichtspunkte zur Kenntnis zu bringen, so dass die für oder gegen die Parteien sprechenden Umstände voll zur Geltung kommen und sorgfältig gewürdigt werden können (RKUV 1997 KV Nr. 14 S. 313 f. Erw. II/5 mit Hinweisen auf die Rechtsprechung des Eidg. Versicherungsgerichts zu Art. 25 Abs. 1 und 4 KUVG).

b) Im Lichte dieser vom Gesetzgeber gewollten schiedsgerichtlichen Ordnung könnte dem hier zur Diskussion stehenden Ausstandsbegehren nur dann Erfolg beschieden sein, wenn die Interessengemeinschaft Thurgauischer Privatkliniken massgeblich auf Betreiben von Dr. G. gebildet worden wäre, er innerhalb dieses Gremiums, welchem offenbar keine Rechtspersönlichkeit zukommt, eine organähnliche Stellung einnähme und die Wahrung der Interessen einzelner Kliniken in (durch die zuständigen Gerichte zu beurteilenden) Tarifstreitigkeiten zu deren Zielsetzungen gehörte. Solche über das Präsidium des Verwaltungsrates der P. AG hinausgehende Aktivitäten werden indessen nicht geltend gemacht. Ebenfalls finden sich keine Hinweise in den Akten, dass diese Privatklinik oder deren Rechtsträger an der Beschwerdegegnerin (massgeblich) beteiligt ist oder Dr. G. selber in dieser oder einer anderen Form mit der am Recht stehenden Privatklinik in Beziehung steht. Im übrigen hält der angefochtene Entscheid zu Recht fest, dass allein die "Gefahr" allfälliger Nachforderungsbegehren seitens der P. AG nicht genügt, um objektiv Misstrauen hinsichtlich der Unvoreingenommenheit des Dr. G. zu begründen, zumal die Rechtsbeziehungen zwischen diesen (juristischen) Personen auf einer anderen vertraglichen Grundlage als der hier massgebenden Tarifvereinbarung vom 1. April 1993 beruhen und daher "völlig offen" ist, ob dem Entscheid in der Hauptsache "überhaupt präjudizieller Charakter" zukommt. Die vorinstanzliche Ablehnung des ihn betreffenden Ausstandsbegehrens ist daher von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden.

6. Dr. G., wie auch die von der Beschwerdeführerin als Beklagten in das Schiedsgericht vorgeschlagene Frau Dr. H., haben beide im Kanton St. Gallen, somit ausserhalb des Kantons Thurgau Wohnsitz. Es stellt sich die von Amtes wegen zu prüfende Frage, ob diese Tatsache einer Mitwirkung als Schiedsrichter im vorinstanzlich hängigen Verfahren entgegensteht.

Das Eidg. Versicherungsgericht hat im schon mehrmals erwähnten Urteil Klinik A. vom 31. Juli 1997 (RKUV 1997 KV Nr. 14 S. 309) offengelassen, ob ein kantonales Schiedsgericht nach Art. 89 KVG auch mit ausserkantonalen Schiedsrichtern besetzt werden kann (S. 318 Erw. 9). Die Regelung dieser Frage, mit welcher sich das Gericht, soweit ersichtlich, auch unter altem Recht nie zu befassen hatte, ist mangels einer bundesrechtlichen Vorschrift Sache der Kantone. Dabei handelt es sich um selbständiges kantonales Verfahrensrecht, dessen Verletzung grundsätzlich nicht mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde gerügt werden kann (BGE 123 II 361 Erw. 1a/aa, BGE 122 II 243 Erw. 2a, BGE 112 V 110 ff. Erw. 2c mit zahlreichen Hinweisen auf die Praxis des Eidg. Versicherungsgerichts; Gygi, a.a.O., S. 93 f.). Soweit die Rüge der Verletzung von Bundesrecht zulässig ist, kommen als Beschwerdegrund praktisch nur der verfassungsmässige und gesetzliche Anspruch der Prozessparteien auf Unabhängigkeit und Unparteilichkeit der Schiedsrichter sowie das Willkürverbot nach Art. 4 Abs. 1 BV in Betracht (vgl. BGE 114 V 205 Erw. 1a, BGE 111 V 54 Erw. 4c, BGE 110 V 136 Erw. 6).

Im Lichte der vorstehenden Ausführungen ist die Bestellung der nicht im Kanton wohnhaften Dr. G. und Dr. H. in das Schiedsgericht nach Art. 89 KVG des Kantons Thurgau von Bundesrechts wegen nicht zu beanstanden.

7. (Kosten und Parteientschädigung)